 |
Trojúhelník je mnohoúhelník. Je určený třemi body, které neleží na jedné přímce. Trojúhelník má vrcholy A, B, C. Trojúhelník popisujeme proti směru hodinových ručiček. Strany v trojúhelníku označujeme malými písmeny a, b, c. Proti vrcholu A leží strana a, proti vrcholu B leží strana b, proti vrcholu C leží strana c.
V každém trojúhelníku je součet délek libovolných dvou stran větší než strana třetí. Je to trojúhelníková nerovnost. Pomocí této nerovnosti lze zjistit, jestli je možné trojúhelník sestrojit.
Podle délek stran dělíme trojúhelník na:
Různostranný – žádné dvě strany nemají stejnou délku
Rovnoramenný – dvě strany jsou stejně dlouhé
Rovnostranný – všechny tři strany mají stejnou délku.
Úhly v trojúhelníku
Vnitřní úhel je konvexní úhel sevřený sousedními stranami trojúhelníku.
Vnější úhel trojúhelníku je vedlejší úhel k vnitřnímu úhlu trojúhelníku.
Vlastnosti vnitřních a vnějších úhlů
Každý trojúhelník má tři vnitřní úhly, z nichž jsou alespoň dva ostré.
Proti většímu vnitřnímu úhlu trojúhelníku leží větší strana trojúhelníku a proti větší straně leží větší úhel.
Proti shodným stranám trojúhelníku leží shodné vnitřní úhly.
V trojúhelníku existují ke každému vnitřnímu úhlu dva shodné vnější úhly.
Součet všech vnitřních úhlů trojúhelníku se rovná 180°.
Součet vnitřního a vnějšího úhlu trojúhelníku se rovná 180°.
Součet vnějších úhlů trojúhelníku se rovná 360°.
Velikost vnějšího úhlu při libovolném vrcholu trojúhelníku je rovna součtu velikostí vnitřních úhlů při zbývajících vrcholech.
Úsečky v trojúhelníku
Těžnice trojúhelníku - je úsečka, která spojuje vrchol trojúhelníku se středem protější strany. Libovolná těžnice trojúhelníku dělí trojúhelník na dva trojúhelníky se stejným obsahem. Průsečík těžnic trojúhelníku je těžiště.
Výška trojúhelníku – je úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a pata kolmice vedená z vrcholu trojúhelníku. Výška trojúhelníku znamená také vzdálenost vrcholu od protější strany.
Kružnice trojúhelníku vepsaná
Označujeme ji S s poloměrem ρ. Kružnice se dotýká všech tří stran. Střed kružnice leží na průsečíku os vnitřních úhlů. Poloměr ρ je roven kolmé vzdálenosti středu S od libovolné strany.
Kružnice trojúhelníku opsaná
Kružnice se středem S a poloměrem r procházející všemi vrcholy trojúhelníku. Středem této kružnice je průsečík os stran trojúhelníku. Poloměr r kružnice opsané je roven vzdálenosti středu S od libovolného vrcholu.
V ostroúhlém trojúhelníku leží střed opsané kružnice uvnitř trojúhelníku. V tupoúhlém trojúhelníku leží střed kružnice opsané mimo trojúhelník. V pravoúhlém trojúhelníku leží střed ve středu přepony a poloměr se rovná polovině délky přepony.
Rovnoramenný trojúhelník
Má ramena a základnu. Ramena jsou stejně dlouhá. Úhly při základně jsou shodné. Hlavní vrchol trojúhelníku leží proti základně. Výška k základně c je zároveň těžnicí k základně. Osa základny je zároveň osou souměrnosti trojúhelníku a osou úhlu při hlavní vrcholu.
Rovnostranný trojúhelník
Strany jsou shodné. Vnitřní úhly se rovnají 60°. Výška k libovolné straně je zároveň i těžnicí k této straně. Osa libovolné strany je i osou souměrnosti trojúhelníku a osou úhlu ležícího naproti této strany. Těžiště je středem kružnice opsané i vepsané.
Pravoúhlý trojúhelník
Přepona leží proti pravému úhlu. Je nejdelší stranou trojúhelníku. Zbývající strany jsou odvěsny. Součet ostrých úhlů se rovná 90°.
Zdroj: Průvodce matematikou 2, nakladatelství Didaktis, ISBN: 978-80-7358-083-4
Náhledové foto: Pixabay
Komentáře
Okomentovat